Pourquoi Maharajah a exactement ces pièces

La réponse en un tableau

Les échecs construisent leurs pièces à longue portée avec trois déplacements : la ligne droite de la tour (R), la diagonale du fou (B) et le saut du cavalier (N). La dame n’est qu’une tour et un fou réunis en une pièce. Trois déplacements se combinent d’exactement sept façons, et les voici toutes.

Valeur : le prix de la pièce en points quand on compose une armée dans Maharajah. Les prix sont fixés par le jeu, pas déduits de la géométrie ci-dessus ; les quatre pièces orthodoxes gardent leur valeur habituelle aux échecs.

D’où vient le sept : chacun des trois déplacements est dans la pièce ou non. Cela fait 2 · 2 · 2 = 8 combinaisons, et l’une d’elles, sans aucun déplacement, n’est pas une pièce, donc 8 − 1 = 7. Dans le dessin ci-dessous, chaque trait veut dire « ajouter un déplacement de plus ».

Pourquoi ces trois déplacements

Tournez l’échiquier d’un quart de tour, ou regardez-le dans un miroir. La tour se déplace toujours comme une tour et le cavalier comme un cavalier : les pièces ne remarquent pas dans quel sens l’échiquier est tourné. Un tel tour ou reflet s’appelle une symétrie, et un carré en a huit. Les boutons sous la fig. 2 vous permettent d’en essayer trois.

Les symétries rangent tous les déplacements possibles en familles. Un déplacement droit reste droit, un diagonal reste diagonal, et tout autre, ni droit ni diagonal, reste oblique. Il n’y a pas de quatrième famille. Le plus court déplacement de chaque famille est une case tout droit, une case en diagonale et « deux et un » : le pas de la tour, le pas du fou et le saut du cavalier.

La tour, le fou et le cavalier ne sont donc pas trois inventions prises au hasard. Chacun est le déplacement le plus simple de l’une des trois seules familles que possède le carré. Les mathématiciens appellent ces familles des orbites.

La dame a commencé

Il y a environ cinq cents ans, les échecs ont fait un pas que tout joueur trouve aujourd’hui naturel : donner à une pièce les déplacements de deux. La dame est une tour et un fou ensemble. Dès que c’est permis, trois autres combinaisons attendent : tour et cavalier, fou et cavalier, et les trois à la fois. Les échecs ne les ont jamais faites. Maharajah les fait : le Chancelier, l’Archevêque et le Maharaja.

Rien ici n’est un nouveau genre de déplacement. Chaque déplacement de chaque pièce de Maharajah est un déplacement que fait déjà une pièce orthodoxe.

Les mathématiques auxquelles vous jouez déjà

Un joueur d’échecs fait des mathématiques à chaque coup sans les appeler ainsi. Voici les six idées sur lesquelles repose cet article, chacune telle que vous la connaissez déjà par l’échiquier, avec le nom que lui donnent les mathématiciens. La deuxième partie emploie ces noms.

• Un déplacement est un vecteur. « Deux vers le haut et une à droite » est le même saut de cavalier depuis n’importe quelle case. Un déplacement n’est pas une paire de cases mais un décalage : combien de côté et combien vers le haut. Écrit comme une paire de nombres, (1, 2), il s’appelle un vecteur.
• Les déplacements s’additionnent. Deux sauts de suite aboutissent à la même case dans n’importe quel ordre. Chaque déplacement est annulé par le même déplacement en arrière, et rester sur place est le déplacement « rien ». Des déplacements obéissant à ces règles forment ce que les mathématiciens appellent un groupe.
• Symétrie. Vous reconnaissez un schéma de mat sur l’autre aile comme le même schéma, reflété. Tourner ou refléter l’échiquier sans changer la façon dont les pièces se déplacent est une symétrie ; le carré en a huit, et elles forment elles aussi un groupe, appelé D₄.
• Familles de déplacements. Ranger les déplacements selon ceux qu’un tour ou un reflet change les uns en les autres donne les familles droite, diagonale et oblique. Les mathématiciens appellent ces familles des orbites, et la règle « de la même famille » une équivalence.
• Compter les combinaisons. Trois déplacements, chacun dans la pièce ou non : 2 · 2 · 2 = 8, moins la combinaison vide. Toutes les combinaisons, chacune reliée à celles dont elle naît, donnent le dessin de la fig. 1, qu’on appelle un treillis.
• Parité. Un fou ne quitte jamais sa couleur, et un cavalier change de couleur à chaque saut. C’est une arithmétique à deux réponses seulement, pair et impair, qu’on appelle compter modulo 2. Elle aide à expliquer pourquoi l’Archevêque mate avec son roi alors que ni le fou ni le cavalier n’y parviennent.

Rien de tout cela n’est nouveau pour un joueur d’échecs ; cela reçoit seulement des noms. Avec ces noms, le choix des pièces de Maharajah cesse d’être une affaire de goût et devient quelque chose qu’on peut vérifier.

Quatre résultats surprenants

Nous avons fait résoudre par ordinateur chaque finale roi et une pièce contre roi seul. Quatre résultats ressortent.

1. Fou et cavalier réunis en une pièce matent. Ni le fou ni le cavalier ne peuvent forcer le mat avec leur roi. L’Archevêque, qui est les deux, mate depuis n’importe quelle position.
2. Les déplacements s’additionnent exactement. Sur un échiquier vide, un fou a en moyenne 8,75 coups et un cavalier 5,25. L’Archevêque en a 14,00, exactement la somme et autant qu’une tour, car un cavalier ne saute jamais sur une case qu’un fou pourrait atteindre.
3. Le Maharaja est rapide. Avec son roi, il mate un roi seul en 4 coups au plus depuis n’importe quelle position. La dame a besoin de 10 au plus.
4. La couleur décide. Aucune pièce dont chaque déplacement change la couleur de la case n’a pu mater seule, le cavalier parmi elles. C’est une régularité observée sur 18 pièces, pas une preuve.

Les tableaux complets sont dans la deuxième partie, sous Ce que montrent les calculs.

Ce qui est affirmé et ce qui ne l’est pas

Affirmé : les trois nouvelles pièces de Maharajah sont exactement les combinaisons des déplacements de la tour, du fou et du cavalier que les échecs ont laissées de côté.

Non affirmé : que ce soient les seules nouvelles pièces possibles (l’échiquier admet plus de mille milliards de pièces symétriques), ni que la géométrie décide de la force d’une pièce en jeu. La deuxième partie donne les preuves et les limites en entier.

La question

Maharajah ajoute trois pièces aux six des échecs. Le Maharaja se déplace comme une dame et un cavalier, le Chancelier comme une tour et un cavalier, l’Archevêque comme un fou et un cavalier. La question naturelle est : pourquoi ces trois-là ? Ce choix est-il aussi arbitraire que dans des centaines de variantes d’échecs féeriques, ou quelque chose le détermine-t-il ?

Pour répondre par une preuve plutôt que par goût, nous décrivons les coups mathématiquement, comme des vecteurs sur un réseau organisé par le groupe des symétries du carré. La question « quelles pièces manquent » devient alors une question sur un ensemble fini, et un ensemble fini se vérifie de façon exhaustive.

Un coup est un vecteur

Soit une pièce sur la case (x, y). Un coup l’amène en (x + dx, y + dy). Nous appelons le couple (dx, dy) un vecteur de déplacement. Une pièce peut utiliser un vecteur de deux façons :

• saut : un pas selon le vecteur, quoi qu’il y ait entre les deux (le cavalier) ;
• glissement : répéter le même pas tant que la case est vide (la tour et le fou).

Sur un échiquier 8×8, dx et dy sont compris entre −7 et 7, il y a donc 15 × 15 − 1 = 224 vecteurs non nuls. Ce sont tous les coups que l’échiquier permet. La figure 3 les montre tous : le centre est la case de la pièce, chaque cellule est un vecteur. Touchez une cellule pour voir sa direction et les pièces qui l’utilisent.

Pourquoi 15 et pas 8 : le vecteur ne dépend pas de l’endroit où se trouve la pièce. Depuis la colonne a, une pièce peut aller au plus de 7 colonnes vers la droite, dx = +7 (a → h) ; depuis la colonne h, au plus de 7 vers la gauche, dx = −7 (h → a). Toute valeur intermédiaire est possible aussi, et 0 également, donc dx prend 7 + 1 + 7 = 15 valeurs, et dy de même. Cela donne une grille de 15 × 15 avec la pièce au centre ; le seul vecteur écarté est (0, 0), rester sur place. Depuis une case donnée, seuls 63 de ces vecteurs restent sur l’échiquier (un par autre case), mais lesquels dépend de la case : dans un coin ils pointent tous d’un côté, au centre dans toutes les directions.

Les déplacements s’additionnent : deux déplacements faits l’un après l’autre n’en font qu’un, (dx₁, dy₁) + (dx₂, dy₂) = (dx₁ + dx₂, dy₁ + dy₂). Avec cette addition, les vecteurs forment le groupe additif ℤ² : la somme de deux vecteurs est encore un vecteur, l’ordre ne compte pas (v + w = w + v), (0, 0) est le zéro, et tout vecteur v a un opposé −v avec v + (−v) = 0. La grille 15 × 15 est une fenêtre sur ce groupe, pas un groupe à elle seule : (7, 0) + (7, 0) = (14, 0) ne tient plus sur l’échiquier.

En termes simples : « deux vers le haut, puis un à droite » et « un à droite, puis deux vers le haut » aboutissent à la même case ; rester sur place est le déplacement nul ; et chaque déplacement s’annule par le même déplacement en arrière.

La symétrie du carré

Tournez l’échiquier de 90° ou retournez-le en miroir : la tour reste une tour et le cavalier un cavalier. Un carré a huit transformations de ce genre : quatre rotations et quatre réflexions. Ensemble, elles forment le groupe diédral D₄, le groupe des symétries du carré. Une pièce dont les règles ne dépendent pas de l’orientation de l’échiquier (toutes les pièces orthodoxes sauf le pion) contient, avec chaque vecteur, toutes ses images par D₄.

Chaque symétrie est une matrice entière qui agit sur les vecteurs de déplacement : le quart de tour envoie (x, y) sur (−y, x), la réflexion par rapport à la diagonale envoie (x, y) sur (y, x). Les symétries respectent donc l’addition, g(v + w) = g(v) + g(w) : tourner l’échiquier après deux déplacements revient à tourner chaque déplacement puis à les additionner. Dans le langage des groupes, D₄ agit sur ℤ² et chaque symétrie en est un automorphisme. Le demi-tour envoie chaque v sur −v, donc une pièce symétrique a toujours, avec chaque déplacement, le déplacement retour.

Disons que deux vecteurs sont équivalents si une symétrie envoie l’un sur l’autre. C’est une relation d’équivalence, et ce sont exactement les trois règles du groupe qui en font une : tout vecteur est équivalent à lui-même (l’identité), la relation marche dans les deux sens (toute symétrie peut être défaite) et elle s’enchaîne (deux symétries à la suite forment encore une symétrie). Ses classes répartissent les vecteurs en familles qui ne se chevauchent pas.

L’ensemble des images d’un vecteur est son orbite, et les orbites sont ces classes. Le théorème orbite-stabilisateur en donne la taille : |orbite| = 8 / |stabilisateur|, où le stabilisateur est l’ensemble des symétries qui laissent le vecteur en place. Un vecteur sur une ligne ou une diagonale est conservé par une réflexion, son orbite a donc 4 directions. Un vecteur oblique comme celui du cavalier n’est conservé par aucune symétrie, il en a donc 8.

En termes simples : prenons le pas de la tour (1, 0). Tourner l’échiquier de 90° donne (0, 1), (−1, 0) et (0, −1), mais retourner l’échiquier de haut en bas laisse (1, 0) en place, donc les huit symétries donnent chacune des quatre directions deux fois. Le pas du cavalier (2, 1) n’a pas cette symétrie : les huit donnent des vecteurs différents, listés plus bas.

D’où viennent 7, 7 et 21. Une orbite est fixée par ses deux longueurs de pas prises sans signe. Une orbite de ligne est (a, 0) avec a de 1 à 7 : 7 orbites de 4 vecteurs chacune, (±a, 0) et (0, ±a). Une orbite diagonale est (a, a) : encore 7 orbites de 4, (±a, ±a).

Une orbite oblique est une paire de deux nombres différents de 1 à 7, et leur ordre ne compte pas : (2, 1) et (1, 2) sont dans la même orbite. Il y a 7 · 6 / 2 = 21 paires de ce genre, {2, 1}, {3, 1}, {3, 2}, {4, 1} … {7, 6}, et chaque orbite compte 8 vecteurs : 2 ordres fois 4 combinaisons de signes. L’orbite du cavalier, par exemple, est (2, 1) (1, 2) (−1, 2) (−2, 1) (−2, −1) (−1, −2) (1, −2) (2, −1). Vérification : 28 + 28 + 168 = 224 vecteurs en 7 + 7 + 21 = 35 orbites. Autrement dit, 35 est le nombre de coups différents quand on ignore la direction : 7 longueurs pour la tour, 7 pour le fou et 21 formes de type cavalier.

Le même compte s’obtient sans énumérer une seule orbite. Le lemme de Burnside dit que le nombre d’orbites est le nombre moyen de vecteurs qu’une symétrie laisse en place. Prenons toute la grille 15 × 15, zéro compris : l’identité fixe les 225 vecteurs, chacune des trois rotations ne fixe que (0, 0), et chacune des quatre réflexions fixe les 15 vecteurs de son axe. Le nombre d’orbites est donc (225 + 3 · 1 + 4 · 15) / 8 = 288 / 8 = 36 : les 35 directions et le vecteur nul, seul dans son orbite.

Pourquoi exactement trois déplacements de base. Un vecteur non nul est laissé en place soit par une réflexion d’axe passant par les côtés du carré (les vecteurs de ligne), soit par une réflexion d’axe diagonal (les vecteurs diagonaux), soit par aucune symétrie sauf l’identité (les vecteurs obliques). Il y a donc trois types de direction, pas plus. Le plus court vecteur de chaque type est (1, 0), (1, 1) et (2, 1) : le pas de la tour, le pas du fou et le saut du cavalier. Les échecs construisent leurs pièces à longue portée à partir du plus petit représentant de chaque type ; c’est la géométrie, et non le goût, qui désigne ces trois-là.

Le théorème de clôture

Notons les trois déplacements à longue portée des échecs R, un glissement le long d’une ligne ; B, un glissement le long d’une diagonale ; N, le saut du cavalier. L’union X ∨ Y de deux pièces est une pièce qui peut se déplacer comme X ou comme Y. La dame en est le premier exemple : Q = R ∨ B. L’union est associative, commutative et idempotente, donc les pièces construites à partir de ces trois déplacements forment le treillis booléen des sous-ensembles de {R, B, N}.

En termes simples : l’ordre dans une union ne compte pas (R ∨ N est la même pièce que N ∨ R), et ajouter un déplacement que la pièce a déjà ne change rien (R ∨ R = R). Une pièce construite à partir de R, B et N est donc entièrement décrite par ceux des trois qu’elle possède.

L’union n’est pas une opération de groupe. Les déplacements s’additionnent en un groupe, mais l’union de pièces n’a pas d’inverse : un déplacement une fois ajouté ne peut être retiré par aucune autre union. C’est pourquoi les pièces forment un treillis et non un groupe. Le groupe décide de quoi les pièces sont faites ; l’union décide comment elles se combinent.

Le même compte sans symboles : chacun de R, B et N est dans la pièce ou non, ce qui donne 2 · 2 · 2 = 8 combinaisons. L’une ne contient rien et n’est pas une pièce, il en reste donc 7. La fig. 1 et le tableau de la première partie montrent les sept.

Deux corollaires. D’abord, Maharajah n’introduit aucune direction nouvelle : toutes ses pièces utilisent les trois mêmes orbites sur 35 que les échecs orthodoxes. Ensuite, l’ensemble est minimal. Sans l’une quelconque des trois nouvelles pièces il n’est plus fermé, et toute autre pièce ajoutée apporterait un déplacement nouveau.

Les échecs orthodoxes admettent l’union comme principe (la dame) mais ne l’appliquent qu’à une seule des trois paires. Maharajah applique le même principe à toutes les paires et au trio.

Combien de pièces sont possibles

Une pièce symétrique est définie par ce qu’elle fait de chacune des 35 orbites : l’ignorer, sauter selon elle ou glisser selon elle. Glisser ne diffère de sauter que si au moins deux pas tiennent sur l’échiquier, c’est-à-dire si 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7. C’est le cas d’exactement 9 orbites, celles de longueur au plus 3. Les 26 autres n’ont que deux options.

Pourquoi glisser exige 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7 : une pièce qui glisse répète le même pas encore et encore, donc son deuxième pas tombe deux fois plus loin. Selon (3, 0), une pièce sur la colonne a atteint d, puis g : deux pas tiennent. Selon (4, 0), le deuxième pas demanderait 8 colonnes, mais l’échiquier n’en offre que 7, donc « glisser selon (4, 0) » et « sauter selon (4, 0) » donnent la même pièce. La colonne longueur classe les orbites par leur plus grande coordonnée : la longueur L compte L + 1 orbites, (L, 0), (L, 1) … (L, L). Ainsi les longueurs 1 à 3 donnent 2 + 3 + 4 = 9 orbites, et les longueurs 4 à 7 en donnent 5 + 6 + 7 + 8 = 26.

Les choix sont indépendants, donc ils se multiplient. Deux orbites à trois options chacune donnent déjà 3 · 3 = 9 combinaisons. Pour les 35 : 3⁹ = 19 683 pour les orbites courtes fois 2²⁶ = 67 108 864 pour les longues. Une combinaison ignore toutes les orbites : une « pièce » qui ne peut pas bouger. C’est pourquoi on retranche 1.

L’échiquier 8×8 admet donc exactement 3⁹ · 2²⁶ − 1 = 1 320 903 770 111 pièces symétriques, plus de 1 300 milliards. Ce compte laisse de côté les pièces qui n’avancent que vers l’avant (le pion, les pièces du shogi), celles qui sautent par-dessus d’autres (la sauterelle, le canon du xiangqi) et celles qui peuvent être bloquées (le cheval du xiangqi). La conclusion est simple : aucun ensemble de pièces ne peut être « complet » parmi toutes les pièces possibles. La complétude n’a de sens que par rapport à une base choisie.

Une base plus large : 17 pièces

Et si la base comprend des pas courts ? Sur les lignes, une pièce peut n’avoir rien, un pas W ou un glissement R ; sur les diagonales rien, un pas F ou un glissement B ; avec ou sans le cavalier. Cela fait 3 · 3 · 2 − 1 = 17 pièces. Les échecs orthodoxes en ont 5 (le roi seulement comme pièce royale), Maharajah en a 8. Les neuf autres sont connues d’autres traditions : la fers du shatranj, les dragons du shogi, des pièces féeriques.

Le compte se fait comme dans « Combien de pièces sont possibles » : 3 choix sur les lignes fois 3 sur les diagonales fois 2 pour le cavalier font 18, et la seule combinaison sans rien n’est pas une pièce.

Un atlas des pièces connues

Voici 31 pièces des échecs, de Maharajah, du shatranj (l’ancien jeu persan dont descendent les échecs), du xiangqi (échecs chinois), du shogi (échecs japonais) et des échecs féeriques. Chaque vignette montre les coups depuis d4 sur un échiquier vide. Touchez une pièce pour l’ouvrir sur le grand échiquier. Vous pouvez l’y déplacer en touchant une case et afficher une carte de chaleur du nombre de coups qu’elle a depuis chaque case.

Ce que montrent les calculs

Pour chaque pièce, nous avons calculé sa mobilité sur un échiquier vide et résolu la finale roi et pièce contre roi seul en énumérant toutes les positions (environ 262 000 pour chaque camp au trait). Le solveur est vérifié sur des résultats connus : le mat le plus long avec une dame sort à 10 coups et avec une tour à 16, comme dans les tables de finales.

D’où viennent les 262 mille : le roi blanc, le roi noir et la pièce blanche peuvent chacun occuper n’importe laquelle des 64 cases, et 64 · 64 · 64 = 262 144. Les placements où deux d’entre eux partagent une case ou où les rois se touchent sont illégaux et sont ignorés.

Moyenne : nombre moyen de coups sur les 64 cases. Coin et centre : le plus petit et le plus grand nombre de coups depuis une case. Diamètre : le plus grand nombre de coups nécessaires entre deux cases. Gain forcé : part des positions (trait aux Blancs) où le mat est forcé. Mat le plus long : en coups, avec le meilleur jeu des deux camps. Les pièces de Maharajah sont mises en évidence.

Betza est la notation courte standard des pièces féeriques. W est un pas sur une ligne, F un pas sur une diagonale, N le saut du cavalier, K = W + F le pas du roi ; R, B et Q glissent, et une lettre doublée glisse aussi (NN, le noctambule). Les lettres se combinent : RN se déplace comme une tour et comme un cavalier. Dans le mfWcfF du pion, m veut dire déplacement seulement, c prise seulement, f vers l’avant.

Quatre conclusions qui découlent de la seule géométrie :

1. La mobilité s’additionne exactement. Le vecteur du cavalier n’est multiple d’aucun vecteur de ligne ou de diagonale, donc les cases du cavalier ne coïncident jamais avec celles d’une pièce qui glisse : A = B + N = 8,75 + 5,25 = 14,00, autant que la tour.
2. Une union peut ce qu’aucune de ses parties ne peut. Ni le fou ni le cavalier ne peuvent mater seuls ; l’Archevêque mate depuis n’importe quelle position. La raison est la couleur des cases (fig. 6).
3. Le Maharaja mate en 4 coups au plus depuis n’importe quelle position ; la dame a besoin de jusqu’à 10.
4. Parité. Aucune pièce dont chaque coup change la couleur de la case (W, N, W+N, le noctambule) ne peut mater seule. C’est une régularité observée sur 18 pièces, pas une preuve.

En termes simples : numérotez colonnes et rangées de 1 à 8 et additionnez les deux nombres. Les cases foncées ont une somme paire, les claires une somme impaire. Un coup de fou change la somme d’un nombre pair, donc le fou ne change jamais de couleur. Un coup de cavalier la change de 1 ou 3, un nombre impair, donc le cavalier change de couleur à chaque coup. L’archevêque a les deux déplacements et peut atteindre n’importe quelle case, c’est pourquoi il mate alors que le fou et le cavalier seuls ne le peuvent pas.

Les limites de l’affirmation

Pour que la conclusion ne soit pas lue plus largement qu’elle n’est prouvée :

• Pas toutes les pièces possibles. Maharajah contient 7 des plus de 1 300 milliards de pièces symétriques. Il est complet pour l’union sur la base {R, B, N}, c’est-à-dire par rapport aux déplacements à longue portée propres aux échecs.
• Faire glisser le cavalier. Pour les lignes et les diagonales, les échecs ont à la fois un pas (le roi) et un glissement (tour, fou) ; pour le cavalier, seulement le saut. Le noctambule, qui glisse selon le vecteur du cavalier, n’existe ni aux échecs ni dans Maharajah.
• D’autres types de pièces, celles qui n’avancent que vers l’avant, sautent par-dessus d’autres pièces ou peuvent être bloquées, sortent de ce modèle.
• Force et valeur. La géométrie ne décide pas de ce que vaut une pièce en partie. C’est une question de mesure par le moteur, pas l’objet de cet article.

Histoire de l’idée

Le jeu de pièces des échecs a toujours été élargi. Au shatranj, la place de la dame revenait à la fers, un seul pas en diagonale, et celle du fou à l’alfil, un saut en (2, 2). En Europe, à la fin du XVe siècle, ils ont été remplacés par la dame moderne (R ∨ B) et le fou, et c’est alors que l’union des déplacements est entrée dans les échecs.

Combiner la tour et le fou avec le cavalier a été proposé bien des fois : Pietro Carrera (1617) sur un échiquier 10 × 8, Henry Bird (1874), José Raúl Capablanca (années 1920) avec le Chancelier et l’Archevêque, le Grand Chess de Christian Freeling (1984) en 10 × 10, le Seirawan Chess de Yasser Seirawan et Bruce Harper (2007) en 8 × 8. La dame plus le cavalier (l’amazone) apparaît dans des échecs régionaux et féeriques. Les dates historiques suivent des sources couramment citées et n’ont pas été vérifiées dans les sources primaires.

Ce qui est nouveau dans Maharajah, ce ne sont pas les pièces elles-mêmes, mais le fait que les sept unions soient réunies sur l’échiquier ordinaire 8 × 8, les joueurs composant leurs armées avec le même budget.

Méthodes et reproductibilité

Chaque nombre ici a été calculé, pas repris de la littérature. kxk.c (C, environ 3 secondes) calcule la mobilité, l’attachement à une couleur et le diamètre, et résout la finale K + X contre K par analyse rétrograde : en remontant depuis les positions de mat, un demi-coup à la fois, jusqu’à ce que l’ensemble des positions gagnées cesse de croître. Dans les positions légales, les rois ne se touchent pas et la pièce occupe sa propre case ; le pat est nul ; le roi noir peut prendre une pièce non défendue. Les vignettes de cette page sont dessinées à partir des mêmes définitions de déplacement. Le code source de kxk.c s’ouvre dans le navigateur depuis le lien ci-dessus : compilez-le avec cc -O2 kxk.c -o kxk et lancez ./kxk.

Conclusion

Les échecs orthodoxes construisent leurs pièces à longue portée avec trois déplacements, la ligne, la diagonale et le saut du cavalier, et utilisent quatre de leurs sept unions. Le Maharaja, le Chancelier et l’Archevêque sont exactement les trois qui manquent. Le jeu de Maharajah est donc la clôture du jeu d’échecs pour l’union de ses propres déplacements. Rien de nouveau n’est ajouté ; ce que la dame avait commencé est achevé.

Et les mathématiques étaient sur l’échiquier depuis toujours. Tout joueur qui sait qu’un fou garde sa couleur, qu’un saut de cavalier peut être défait ou qu’un schéma fonctionne de même sur l’autre aile utilisait des vecteurs, la symétrie et la parité sans leurs noms.

Vous pouvez composer une armée avec ces pièces dans le créateur d’armée ou voir comment chacune se déplace dans Apprendre.