Por qué Maharajah tiene exactamente estas piezas

La respuesta en una tabla

El ajedrez construye sus piezas de largo alcance con tres movimientos: la línea recta de la torre (R), la diagonal del alfil (B) y el salto del caballo (N). La dama es simplemente una torre y un alfil en una sola pieza. Tres movimientos se pueden combinar exactamente de siete maneras, y aquí están todas.

Valor: el precio de la pieza en puntos cuando formas un ejército en Maharajah. Los precios los fija el juego, no se deducen de la geometría anterior; las cuatro piezas ortodoxas conservan su valor habitual en ajedrez.

De dónde sale el siete: cada uno de los tres movimientos está en la pieza o no. Eso da 2 · 2 · 2 = 8 combinaciones, y una de ellas, sin ningún movimiento, no es una pieza, así que 8 − 1 = 7. En el dibujo de abajo cada línea significa «añadir un movimiento más».

Por qué estos tres movimientos

Gire el tablero un cuarto de vuelta o mírelo en un espejo. La torre sigue moviéndose como torre y el caballo como caballo: las piezas no notan hacia dónde mira el tablero. Ese giro o reflejo se llama simetría, y un cuadrado tiene ocho. Los botones bajo la fig. 2 le dejan probar tres.

Las simetrías reparten todos los movimientos posibles en familias. Un movimiento recto sigue recto, uno diagonal sigue diagonal, y cualquier otro, ni recto ni diagonal, sigue oblicuo. No hay cuarta familia. El movimiento más corto de cada familia es una casilla recta, una casilla en diagonal y «dos y una»: el paso de la torre, el paso del alfil y el salto del caballo.

Así que la torre, el alfil y el caballo no son tres inventos al azar. Cada uno es el movimiento más simple de una de las únicas tres familias que tiene el cuadrado. Los matemáticos llaman a estas familias órbitas.

La dama lo empezó

Hace unos quinientos años el ajedrez dio un paso que hoy todo jugador da por sentado: dio a una pieza los movimientos de dos. La dama es una torre y un alfil juntos. Una vez permitido eso, quedan tres combinaciones esperando: torre y caballo, alfil y caballo, y las tres a la vez. El ajedrez nunca las hizo. Maharajah sí: el Canciller, el Arzobispo y el Maharajá.

Aquí no hay ningún tipo de movimiento nuevo. Cada movimiento de cada pieza de Maharajah es un movimiento que ya hace alguna pieza ortodoxa.

Las matemáticas que ya juega

Un ajedrecista hace matemáticas en cada jugada sin llamarlas así. Estas son las seis ideas en las que se apoya este artículo, cada una tal como ya la conoce del tablero, con el nombre que le dan los matemáticos. La segunda parte usa estos nombres.

• Un movimiento es un vector. «Dos arriba y una a la derecha» es el mismo salto de caballo desde cualquier casilla. Un movimiento no es un par de casillas sino un desplazamiento: cuánto de lado y cuánto hacia arriba. Escrito como un par de números, (1, 2), se llama vector.
• Los movimientos se suman. Dos saltos seguidos terminan en la misma casilla en cualquier orden. Cada movimiento se deshace con el mismo movimiento hacia atrás, y quedarse quieto es el movimiento «nada». Los movimientos con estas reglas forman lo que los matemáticos llaman un grupo.
• Simetría. Usted reconoce un patrón de mate en el otro flanco como el mismo patrón, reflejado. Girar o reflejar el tablero sin cambiar cómo se mueven las piezas es una simetría; el cuadrado tiene ocho, y también forman un grupo, llamado D₄.
• Familias de movimientos. Agrupar los movimientos según cuáles convierte un giro o un reflejo unos en otros da las familias recta, diagonal y oblicua. Los matemáticos llaman a esas familias órbitas, y a la regla «de la misma familia», equivalencia.
• Contar combinaciones. Tres movimientos, cada uno en la pieza o no: 2 · 2 · 2 = 8, menos la vacía. Todas las combinaciones, cada una unida a aquellas de las que crece, forman el dibujo de la fig. 1, que se llama retículo.
• Paridad. Un alfil nunca deja su color, y un caballo cambia de color en cada salto. Es aritmética con solo dos respuestas, par e impar, llamada contar módulo 2. Ayuda a explicar por qué el Arzobispo da mate con su rey mientras que ni el alfil ni el caballo pueden.

Nada de esto es nuevo para un ajedrecista; solo recibe nombres. Con los nombres, la elección de las piezas de Maharajah deja de ser cuestión de gusto y pasa a ser algo que se puede comprobar.

Cuatro resultados sorprendentes

Pusimos a un ordenador a resolver todos los finales de rey y una pieza contra rey solo. Destacan cuatro resultados.

1. Alfil y caballo en una pieza dan mate. Ni el alfil ni el caballo pueden forzar el mate con su rey. El Arzobispo, que es ambos, da mate desde cualquier posición.
2. Los movimientos se suman exactamente. En un tablero vacío un alfil tiene 8,75 movimientos de media y un caballo 5,25. El Arzobispo tiene 14,00, exactamente la suma y tantos como una torre, porque un caballo nunca salta a una casilla que un alfil podría alcanzar.
3. El Maharajá es rápido. Con su rey da mate a un rey solo en 4 jugadas como máximo desde cualquier posición. La dama necesita hasta 10.
4. El color decide. Ninguna pieza cuyos movimientos cambian todos el color de la casilla pudo dar mate por sí sola, el caballo entre ellas. Es un patrón visto en 18 piezas, no una demostración.

Las tablas completas están en la segunda parte, en Lo que muestran los cálculos.

Qué se afirma y qué no

Se afirma: las tres piezas nuevas de Maharajah son exactamente las combinaciones de los movimientos de la torre, el alfil y el caballo que el ajedrez dejó fuera.

No se afirma: que sean las únicas piezas nuevas posibles (el tablero admite más de un billón de piezas simétricas), ni que la geometría decida lo fuerte que es una pieza en juego. La segunda parte da las demostraciones y los límites completos.

La pregunta

Maharajah añade tres piezas a las seis del ajedrez. El Maharajá se mueve como dama y caballo, el Canciller como torre y caballo, el Arzobispo como alfil y caballo. La pregunta natural es por qué estas tres. ¿Es una elección tan arbitraria como en cientos de variantes de ajedrez de fantasía, o la determina algo?

Para responder con una demostración y no por gusto, describimos los movimientos con matemáticas, como vectores en una red ordenada por el grupo de simetrías del cuadrado. Así la pregunta «qué piezas faltan» se convierte en una pregunta sobre un conjunto finito, y un conjunto finito se puede comprobar por completo.

Un movimiento es un vector

Sea una pieza en la casilla (x, y). Un movimiento la lleva a (x + dx, y + dy). Llamamos al par (dx, dy) vector de movimiento. Una pieza puede usar un vector de dos maneras:

• salto: un paso por el vector, sin importar lo que haya en medio (el caballo);
• deslizamiento: repetir el mismo paso mientras la casilla esté vacía (la torre y el alfil).

En un tablero 8×8, dx y dy están entre −7 y 7, así que hay 15 × 15 − 1 = 224 vectores no nulos. Son todos los movimientos que el tablero permite. La figura 3 los muestra todos: el centro es la casilla de la pieza y cada celda es un vector. Toca cualquier celda para ver su dirección y las piezas que la usan.

Por qué 15 y no 8: el vector no depende de dónde esté la pieza. Desde la columna a una pieza puede ir como mucho 7 columnas a la derecha, dx = +7 (a → h); desde la columna h, como mucho 7 a la izquierda, dx = −7 (h → a). Cualquier valor intermedio también es posible, y también 0, así que dx toma 7 + 1 + 7 = 15 valores, y dy lo mismo. Eso da una cuadrícula de 15 × 15 con la pieza en el centro; el único vector que se descarta es (0, 0), quedarse en el sitio. Desde una casilla concreta solo 63 de estos vectores quedan dentro del tablero (uno por cada otra casilla), pero cuáles 63 depende de la casilla: en una esquina todos apuntan hacia un lado, en el centro hacia todas partes.

Los movimientos se suman: dos movimientos seguidos son un solo movimiento, (dx₁, dy₁) + (dx₂, dy₂) = (dx₁ + dx₂, dy₁ + dy₂). Con esta suma, los vectores forman el grupo aditivo ℤ²: la suma de dos vectores vuelve a ser un vector, el orden no importa (v + w = w + v), (0, 0) es el cero y todo vector v tiene un opuesto −v con v + (−v) = 0. La cuadrícula de 15 × 15 es una ventana a este grupo, no un grupo propio: (7, 0) + (7, 0) = (14, 0) ya no cabe en el tablero.

Dicho de forma sencilla: «dos arriba y luego uno a la derecha» y «uno a la derecha y luego dos arriba» terminan en la misma casilla; quedarse quieto es el movimiento cero; y cada movimiento se deshace con el mismo movimiento hacia atrás.

La simetría del cuadrado

Gira el tablero 90° o refléjalo, y la torre sigue siendo torre y el caballo, caballo. Un cuadrado tiene ocho transformaciones así: cuatro giros y cuatro reflexiones. Juntas forman el grupo diédrico D₄, el grupo de simetrías del cuadrado. Una pieza cuyas reglas no dependen de cómo se gire el tablero (todas las ortodoxas salvo el peón) contiene, con cada vector, todas sus imágenes bajo D₄.

Cada simetría es una matriz de enteros que actúa sobre los vectores de movimiento: el cuarto de vuelta lleva (x, y) a (−y, x) y la reflexión en la diagonal lleva (x, y) a (y, x). Por eso las simetrías respetan la suma, g(v + w) = g(v) + g(w): girar el tablero después de dos movimientos es lo mismo que girar cada movimiento y sumarlos. En el lenguaje de los grupos, D₄ actúa sobre ℤ² y cada simetría es un automorfismo de ℤ². La media vuelta lleva cada v a −v, así que una pieza simétrica siempre tiene, junto con cada movimiento, el movimiento de vuelta.

Diremos que dos vectores son equivalentes si alguna simetría convierte uno en el otro. Es una relación de equivalencia, y son justamente las tres reglas del grupo las que la hacen serlo: todo vector es equivalente a sí mismo (la identidad), la relación funciona en ambos sentidos (toda simetría se puede deshacer) y se encadena (dos simetrías seguidas son otra simetría). Sus clases dividen los vectores en familias que no se solapan.

El conjunto de imágenes de un vector es su órbita, y las órbitas son estas clases. El teorema de la órbita y el estabilizador da su tamaño: |órbita| = 8 / |estabilizador|, donde el estabilizador son las simetrías que dejan el vector en su sitio. Un vector sobre una línea o una diagonal se conserva con una reflexión, así que su órbita tiene 4 direcciones. Un vector oblicuo como el del caballo no lo conserva ninguna simetría, así que tiene 8.

Dicho de forma sencilla: toma el paso de la torre (1, 0). Girar el tablero 90° da (0, 1), (−1, 0) y (0, −1), pero voltear el tablero de arriba abajo deja (1, 0) donde estaba, así que las ocho simetrías dan cada una de las cuatro direcciones dos veces. El paso del caballo (2, 1) no tiene esa simetría: las ocho dan vectores distintos, enumerados abajo.

De dónde salen 7, 7 y 21. Una órbita queda fijada por sus dos longitudes de paso sin signo. Una órbita de línea es (a, 0) con a de 1 a 7: 7 órbitas de 4 vectores cada una, (±a, 0) y (0, ±a). Una órbita diagonal es (a, a): otra vez 7 órbitas de 4, (±a, ±a).

Una órbita oblicua es un par de dos números distintos de 1 a 7, y su orden no importa: (2, 1) y (1, 2) están en la misma órbita. Hay 7 · 6 / 2 = 21 pares así, {2, 1}, {3, 1}, {3, 2}, {4, 1} … {7, 6}, y cada órbita tiene 8 vectores: 2 órdenes por 4 combinaciones de signos. La órbita del caballo, por ejemplo, es (2, 1) (1, 2) (−1, 2) (−2, 1) (−2, −1) (−1, −2) (1, −2) (2, −1). Comprobación: 28 + 28 + 168 = 224 vectores en 7 + 7 + 21 = 35 órbitas. Dicho de forma sencilla, 35 es el número de movimientos distintos si se ignora la dirección: 7 longitudes para la torre, 7 para el alfil y 21 formas de tipo caballo.

El mismo recuento sale sin enumerar ni una sola órbita. El lema de Burnside dice que el número de órbitas es el número medio de vectores que una simetría deja en su sitio. Tomemos toda la cuadrícula de 15 × 15, con el cero: la identidad fija los 225 vectores, cada una de las tres rotaciones fija solo (0, 0) y cada una de las cuatro reflexiones fija los 15 vectores de su eje. Así que el número de órbitas es (225 + 3 · 1 + 4 · 15) / 8 = 288 / 8 = 36: las 35 direcciones y el vector cero, solo en su propia órbita.

Por qué exactamente tres movimientos básicos. A un vector no nulo lo deja en su sitio o bien una reflexión en un eje que pasa por los lados del cuadrado (los vectores de línea), o bien una reflexión en una diagonal (los vectores diagonales), o bien ninguna simetría salvo la identidad (los vectores oblicuos). Así que hay tres tipos de dirección, y no más. El vector más corto de cada tipo es (1, 0), (1, 1) y (2, 1): el paso de la torre, el paso del alfil y el salto del caballo. El ajedrez construye sus piezas de largo alcance con el miembro más pequeño de cada tipo; por eso es la geometría, y no el gusto, la que señala estos tres.

El teorema de clausura

Escribamos los tres movimientos de largo alcance del ajedrez como R, deslizamiento por una línea; B, deslizamiento por una diagonal; N, el salto del caballo. La unión X ∨ Y de dos piezas es una pieza que puede moverse como X o como Y. La dama es el primer ejemplo: Q = R ∨ B. La unión es asociativa, conmutativa e idempotente, así que las piezas construidas con estos tres movimientos forman el retículo booleano de subconjuntos de {R, B, N}.

Dicho de forma sencilla: el orden en una unión no importa (R ∨ N es la misma pieza que N ∨ R), y añadir un movimiento que la pieza ya tiene no cambia nada (R ∨ R = R). Así que una pieza hecha de R, B y N queda descrita por completo según cuáles de los tres tiene.

La unión no es una operación de grupo. Los movimientos se suman formando un grupo, pero la unión de piezas no tiene inverso: un movimiento ya añadido no se puede quitar con otra unión. Por eso las piezas forman un retículo y no un grupo. El grupo decide de qué se construyen las piezas; la unión decide cómo se combinan.

La misma cuenta sin símbolos: cada uno de R, B y N está en la pieza o no, lo que da 2 · 2 · 2 = 8 combinaciones. Una no contiene nada y no es una pieza, así que quedan 7. La fig. 1 y la tabla de la primera parte muestran las siete.

Dos corolarios. Primero, Maharajah no introduce ninguna dirección nueva: todas sus piezas usan las mismas tres órbitas de 35 que el ajedrez ortodoxo. Segundo, el conjunto es mínimo. Sin cualquiera de las tres piezas nuevas deja de ser cerrado, y cualquier otra pieza añadida traería un movimiento nuevo.

El ajedrez ortodoxo acepta la unión como principio (la dama), pero la aplica solo a uno de los tres pares. Maharajah aplica el mismo principio a todos los pares y al trío.

Cuántas piezas son posibles

Una pieza simétrica queda fijada por lo que hace con cada una de las 35 órbitas: ignorarla, saltar por ella o deslizarse por ella. Deslizarse difiere de saltar solo si caben al menos dos pasos en el tablero, es decir, si 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7. Eso ocurre exactamente en 9 órbitas, las de longitud hasta 3. Las otras 26 solo tienen dos opciones.

Por qué deslizarse exige 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7: una pieza que se desliza repite el mismo paso una y otra vez, así que su segundo paso cae el doble de lejos. Por (3, 0) una pieza en la columna a llega a d y luego a g: caben dos pasos. Por (4, 0) el segundo paso necesitaría 8 columnas, pero el tablero solo ofrece 7, así que «deslizarse por (4, 0)» y «saltar por (4, 0)» son la misma pieza. La columna de longitud cuenta las órbitas por su coordenada mayor: la longitud L tiene L + 1 órbitas, (L, 0), (L, 1) … (L, L). Así, las longitudes de 1 a 3 dan 2 + 3 + 4 = 9 órbitas y las de 4 a 7 dan 5 + 6 + 7 + 8 = 26.

Las elecciones son independientes, así que se multiplican. Dos órbitas con tres opciones cada una ya dan 3 · 3 = 9 combinaciones. Para las 35: 3⁹ = 19 683 para las órbitas cortas por 2²⁶ = 67 108 864 para las largas. Una combinación ignora todas las órbitas: una «pieza» que no puede moverse. Por eso se resta 1.

Así, el tablero 8×8 admite exactamente 3⁹ · 2²⁶ − 1 = 1 320 903 770 111 piezas simétricas, más de 1,3 billones. Y eso sin contar las piezas que solo avanzan (el peón, las piezas del shogi), las que saltan por encima de otras (el saltamontes, el cañón del xiangqi) y las que pueden bloquearse (el caballo del xiangqi). La conclusión es simple: ningún conjunto de piezas puede ser «completo» entre todas las posibles. La completitud solo tiene sentido respecto a una base elegida.

Una base más amplia: 17 piezas

¿Y si la base incluye pasos cortos? En las líneas una pieza puede no tener nada, un paso W o un deslizamiento R; en las diagonales nada, un paso F o un deslizamiento B; y además el caballo o no. Eso da 3 · 3 · 2 − 1 = 17 piezas. El ajedrez ortodoxo tiene 5 (el rey solo como pieza real) y Maharajah tiene 8. Las otras nueve se conocen de otras tradiciones: el alferza del shatranj, los dragones del shogi, piezas de fantasía.

La cuenta es como en «Cuántas piezas son posibles»: 3 opciones en las líneas por 3 en las diagonales por 2 para el caballo son 18, y la única combinación sin nada no es una pieza.

Un atlas de piezas conocidas

Abajo hay 31 piezas del ajedrez, Maharajah, el shatranj (el antiguo juego persa del que desciende el ajedrez), el xiangqi (ajedrez chino), el shogi (ajedrez japonés) y el ajedrez de fantasía. Cada miniatura muestra los movimientos desde d4 en un tablero vacío. Toca una pieza para abrirla en el tablero grande. Allí puedes moverla tocando una casilla y activar un mapa de calor con cuántos movimientos tiene desde cada casilla.

Lo que muestran los cálculos

Para cada pieza calculamos su movilidad en un tablero vacío y resolvimos el final rey y pieza contra rey desnudo recorriendo todas las posiciones (unas 262 mil para cada bando al mover). El solucionador está comprobado con resultados conocidos: el mate más largo con dama sale en 10 jugadas y con torre en 16, como en las tablas de finales.

De dónde salen los 262 mil: el rey blanco, el rey negro y la pieza blanca pueden estar cada uno en cualquiera de las 64 casillas, y 64 · 64 · 64 = 262 144. Las colocaciones con dos en la misma casilla o con los reyes juntos son ilegales y se omiten.

Media: número medio de movimientos sobre las 64 casillas. Esquina y centro: el menor y el mayor número de movimientos desde una casilla. Diámetro: el mayor número de movimientos necesarios entre dos casillas. Victoria forzada: proporción de posiciones (juegan blancas) con mate forzado. Mate más largo: en jugadas, con el mejor juego de ambos bandos. Las piezas de Maharajah están resaltadas.

Betza es la notación breve estándar de las piezas de fantasía. W es un paso por una línea, F un paso por una diagonal, N el salto del caballo, K = W + F el paso del rey; R, B y Q se deslizan, y una letra doble también se desliza (NN, el jinete nocturno). Las letras se combinan: RN mueve como torre y como caballo. En el mfWcfF del peón, m significa solo mover, c solo capturar, f hacia delante.

Cuatro conclusiones que se siguen solo de la geometría:

1. La movilidad se suma exactamente. El vector del caballo no es múltiplo de ningún vector de línea o diagonal, así que las casillas del caballo nunca coinciden con las de una pieza que se desliza: A = B + N = 8,75 + 5,25 = 14,00, igual que la torre.
2. Una unión puede lo que no puede ninguna de sus partes. Ni el alfil ni el caballo pueden dar mate solos; el Arzobispo da mate desde cualquier posición. La razón es el color de las casillas (fig. 6).
3. El Maharajá da mate en 4 jugadas como máximo desde cualquier posición; la dama necesita hasta 10.
4. Paridad. Ninguna pieza cuyo cada movimiento cambia el color de la casilla (W, N, W+N, el jinete nocturno) puede dar mate sola. Es un patrón observado en 18 piezas, no una demostración.

Dicho de forma sencilla: numera columnas y filas del 1 al 8 y suma los dos números. Las casillas oscuras tienen suma par y las claras impar. Un movimiento de alfil cambia la suma en un número par, así que el alfil nunca cambia de color. Un movimiento de caballo la cambia en 1 o 3, un número impar, así que el caballo cambia de color en cada jugada. El arzobispo tiene ambos movimientos y puede llegar a cualquier casilla, por eso da mate y el alfil y el caballo solos no.

Los límites de la afirmación

Para que la conclusión no se lea más ampliamente de lo que está demostrado:

• No todas las piezas posibles. Maharajah tiene 7 de más de 1,3 billones de piezas simétricas. Es completo bajo la unión sobre la base {R, B, N}, es decir, respecto a los propios movimientos de largo alcance del ajedrez.
• Deslizar el caballo. Para líneas y diagonales el ajedrez tiene tanto un paso (el rey) como un deslizamiento (torre, alfil); para el caballo solo tiene el salto. Un jinete nocturno, que se desliza por el vector del caballo, no existe ni en el ajedrez ni en Maharajah.
• Otros tipos de pieza, las que solo avanzan, saltan por encima de otras piezas o pueden bloquearse, quedan fuera de este modelo.
• Fuerza y valor. La geometría no decide cuánto vale una pieza en el juego. Esa es una pregunta para medir con el motor, no para este artículo.

Historia de la idea

El conjunto de piezas del ajedrez siempre se ha ampliado. En el shatranj, el lugar de la dama lo ocupaba la alferza, un solo paso diagonal, y el del alfil el alfil antiguo, un salto a (2, 2). En Europa, a finales del siglo XV, fueron sustituidos por la dama moderna (R ∨ B) y el alfil actual, y fue entonces cuando la unión de movimientos entró en el ajedrez.

Combinar la torre y el alfil con el caballo se ha propuesto muchas veces: Pietro Carrera (1617) en un tablero de 10 × 8, Henry Bird (1874), José Raúl Capablanca (años 1920) con el Canciller y el Arzobispo, el Grand Chess de Christian Freeling (1984) en 10 × 10, el Seirawan Chess de Yasser Seirawan y Bruce Harper (2007) en 8 × 8. La dama más el caballo (la amazona) aparece en ajedreces regionales y de fantasía. Las fechas históricas siguen fuentes citadas habitualmente y no se han contrastado con fuentes primarias.

Lo nuevo de Maharajah no son las piezas en sí, sino que las siete uniones estén reunidas en el tablero normal de 8 × 8, con los jugadores formando sus ejércitos con el mismo presupuesto.

Métodos y reproducibilidad

Cada número aquí se ha calculado, no se ha tomado de la literatura. kxk.c (C, unos 3 segundos) calcula la movilidad, la ligadura al color y el diámetro, y resuelve el final K + X contra K por análisis retrógrado: hacia atrás desde las posiciones de mate, media jugada cada vez, hasta que el conjunto de posiciones ganadas deja de crecer. En las posiciones legales los reyes no están juntos y la pieza ocupa su propia casilla; el ahogado es tablas; el rey negro puede capturar una pieza sin defensa. Las miniaturas de esta página se dibujan con las mismas definiciones de movimiento. El código fuente de kxk.c se abre en el navegador desde el enlace de arriba: compílalo con cc -O2 kxk.c -o kxk y ejecuta ./kxk.

Conclusión

El ajedrez ortodoxo construye sus piezas de largo alcance con tres movimientos, la línea, la diagonal y el salto del caballo, y usa cuatro de sus siete uniones. El Maharajá, el Canciller y el Arzobispo son exactamente las tres que faltan. Por eso el conjunto de Maharajah es la clausura del conjunto del ajedrez bajo la unión de sus propios movimientos. No se añade nada nuevo; se completa lo que empezó la dama.

Y las matemáticas estuvieron en el tablero todo el tiempo. Todo jugador que sabe que un alfil conserva su color, que un salto de caballo se puede deshacer o que un patrón funciona igual en el otro flanco ha estado usando vectores, simetría y paridad sin sus nombres.

Puedes formar un ejército con estas piezas en el creador de ejércitos o ver cómo se mueve cada una en Aprender.