لماذا تضم Maharajah هذه القطع بالذات

الجواب في جدول واحد

يبني الشطرنج قطعه البعيدة المدى من ثلاث حركات: الخط المستقيم للرخ (R)، والقطر للفيل (B)، وقفزة الحصان (N). والوزير ببساطة رخ وفيل في قطعة واحدة. يمكن جمع ثلاث حركات بسبع طرق بالضبط، وها هي كلها.

القيمة: ثمن القطعة بالنقاط حين تبني جيشًا في Maharajah. وهذه الأسعار تحددها اللعبة ولا تُستنتج من الهندسة أعلاه؛ وتحتفظ القطع التقليدية الأربع بقيمتها المعتادة في الشطرنج.

من أين تأتي السبعة: كل حركة من الثلاث إما في القطعة أو لا. هذا 2 · 2 · 2 = 8 اتحادات، وواحد منها، بلا أي حركة، ليس قطعة، إذن 8 − 1 = 7. في الرسم أدناه يعني كل خط «أضف حركة أخرى».

لماذا هذه الحركات الثلاث

أدِر الرقعة ربع دورة، أو انظر إليها في مرآة. يبقى الرخ يتحرك كرخ والحصان كحصان: القطع لا تلاحظ إلى أين تتجه الرقعة. يسمّى هذا الدوران أو الانعكاس تناظرًا، وللمربع ثمانية منها. تتيح لك الأزرار تحت الشكل 2 أن تجرّب ثلاثة.

تفرز التناظرات كل حركة ممكنة في عائلات. الحركة المستقيمة تبقى مستقيمة، والقطرية تبقى قطرية، وكل حركة أخرى، لا مستقيمة ولا قطرية، تبقى مائلة. لا توجد عائلة رابعة. وأقصر حركة في كل عائلة هي مربع واحد مستقيمًا، ومربع واحد قطريًا، و«اثنان وواحد»: خطوة الرخ وخطوة الفيل وقفزة الحصان.

إذن الرخ والفيل والحصان ليست ثلاثة اختراعات عشوائية. كل منها أبسط حركة في واحدة من العائلات الثلاث الوحيدة التي يملكها المربع. يسمّي الرياضيون هذه العائلات مدارات.

الوزير هو من بدأ

قبل نحو خمسمئة عام خطا الشطرنج خطوة يعدّها كل لاعب اليوم بديهية: أعطى قطعة واحدة حركات قطعتين. الوزير رخ وفيل معًا. وما إن يُسمح بذلك حتى تنتظر ثلاثة اتحادات أخرى: رخ وحصان، وفيل وحصان، والثلاثة معًا. لم يصنعها الشطرنج قط. وتصنعها Maharajah: المستشار ورئيس الأساقفة والمهراجا.

لا يوجد هنا نوع جديد من الحركة. كل حركة لكل قطعة في Maharajah هي حركة تقوم بها أصلًا قطعة تقليدية ما.

الرياضيات التي تلعبها أصلًا

يمارس لاعب الشطرنج الرياضيات في كل نقلة دون أن يسمّيها كذلك. هذه هي الأفكار الست التي يقوم عليها هذا المقال، كل منها كما تعرفها أصلًا من الرقعة، مع الاسم الذي يعطيها إياه الرياضيون. ويستخدم الجزء الثاني هذه الأسماء.

• الحركة متجه. «اثنان إلى الأعلى وواحد إلى اليمين» هي قفزة الحصان نفسها من أي مربع. الحركة ليست زوجًا من المربعات بل إزاحة: كم إلى الجانب وكم إلى الأعلى. وحين تُكتب زوجًا من الأعداد، (1, 2)، تسمّى متجهًا.
• الحركات تُجمع. قفزتان متتاليتان تنتهيان في المربع نفسه بأي ترتيب. كل حركة تُلغى بالحركة نفسها إلى الوراء، والبقاء في المكان هو حركة «لا شيء». والحركات التي تخضع لهذه القواعد تشكّل ما يسمّيه الرياضيون زمرة.
• التناظر. تعرف نمط الكش مات على الجناح الآخر بأنه النمط نفسه، معكوسًا. وتدوير الرقعة أو عكسها دون تغيير طريقة تحرك القطع هو تناظر؛ للمربع ثمانية، وهي أيضًا تشكّل زمرة تسمّى D₄.
• عائلات الحركات. فرز الحركات بحسب أيها يحوّلها دوران أو مرآة بعضها إلى بعض يعطي العائلات: المستقيمة والقطرية والمائلة. يسمّي الرياضيون هذه العائلات مدارات، وقاعدة «من العائلة نفسها» تكافؤًا.
• عدّ الاتحادات. ثلاث حركات، كل منها في القطعة أو لا: 2 · 2 · 2 = 8، ناقص الفارغ. وكل الاتحادات، كل منها موصول بالتي ينمو منها، تصنع رسم الشكل 1، الذي يسمّى شبكة.
• الزوجية. الفيل لا يغادر لونه أبدًا، والحصان يغيّر لونه مع كل قفزة. هذه حسابات بجوابين فقط، زوجي وفردي، تسمّى العدّ بترديد 2. وهي تساعد على تفسير لماذا يستطيع رئيس الأساقفة أن يكشّ مات مع ملكه بينما لا يستطيع ذلك الفيل ولا الحصان.

لا شيء من هذا جديد على لاعب الشطرنج؛ هو فقط يحصل على أسماء. ومع الأسماء يكفّ اختيار قطع Maharajah عن أن يكون مسألة ذوق ويصير شيئًا يمكن التحقق منه.

أربع نتائج مفاجئة

جعلنا الحاسوب يحلّ كل نهاية ملك وقطعة واحدة ضد ملك وحيد. تبرز أربع نتائج.

1. الفيل والحصان في قطعة واحدة يكشّان مات. لا الفيل ولا الحصان يستطيع فرض الكش مات مع ملكه. ورئيس الأساقفة، وهو الاثنان معًا، يكشّ مات من أي وضع.
2. الحركات تُجمع بالضبط. على رقعة فارغة للفيل في المتوسط 8.75 حركة وللحصان 5.25. ولرئيس الأساقفة 14.00، المجموع بالضبط ومثل الرخ، لأن الحصان لا يقفز أبدًا إلى مربع يستطيع الفيل بلوغه.
3. المهراجا سريع. مع ملكه يكشّ الملك الوحيد مات في 4 نقلات على الأكثر من أي وضع. ويحتاج الوزير حتى 10.
4. اللون يحسم. لم تستطع أي قطعة تغيّر كل حركاتها لون المربع أن تكشّ مات وحدها، والحصان منها. هذا نمط شوهد في 18 قطعة، لا برهان.

الجداول الكاملة في الجزء الثاني، تحت ماذا تُظهر الحسابات.

ما الذي يُدّعى وما الذي لا يُدّعى

ما يُدّعى: القطع الجديدة الثلاث في Maharajah هي بالضبط اتحادات حركات الرخ والفيل والحصان التي تركها الشطرنج.

ما لا يُدّعى: أنها القطع الجديدة الوحيدة الممكنة (فالرقعة تسمح بأكثر من تريليون قطعة متناظرة)، أو أن الهندسة تحدد قوة القطعة في اللعب. يقدّم الجزء الثاني البراهين والحدود كاملة.

السؤال

تضيف Maharajah ثلاث قطع إلى قطع الشطرنج الست. يتحرك المهراجا كالوزير والحصان، والمستشار كالرخ والحصان، ورئيس الأساقفة كالفيل والحصان. والسؤال الطبيعي: لماذا هذه الثلاث؟ هل الاختيار اعتباطي كما في مئات من أنواع الشطرنج الخيالي، أم أن شيئًا ما يحدده؟

لنجيب ببرهان لا بذوق، نصف الحركات رياضيًا، كمتجهات على شبكة ينظّمها زمرة تناظرات المربع. عندئذ يصبح سؤال «أي القطع ناقصة» سؤالًا عن مجموعة منتهية، والمجموعة المنتهية يمكن فحصها كلها.

الحركة متجه

لتكن قطعة على المربع (x, y). تنقلها الحركة إلى (x + dx, y + dy). نسمي الزوج (dx, dy) متجه الحركة. يمكن للقطعة أن تستخدم المتجه بطريقتين:

• القفز: خطوة واحدة بمقدار المتجه، أيًّا كان ما بينهما (الحصان)؛
• الانزلاق: تكرار الخطوة نفسها ما دام المربع فارغًا (الرخ والفيل).

على رقعة 8×8 يقع كلٌّ من dx وdy بين −7 و7، فيكون عدد المتجهات غير الصفرية 15 × 15 − 1 = 224. وهذه كل الحركات التي تسمح بها الرقعة. يعرض الشكل 3 كل واحد منها: المركز مربع القطعة، وكل خلية متجه واحد. انقر أي خلية لترى اتجاهها والقطع التي تستخدمها.

لماذا 15 وليس 8: المتجه لا يتوقف على مكان القطعة. من العمود a تستطيع القطعة أن تتحرك 7 أعمدة إلى اليمين على الأكثر، dx = +7 (a → h)؛ ومن العمود h ‏7 أعمدة إلى اليسار على الأكثر، dx = −7 (h → a). وكل قيمة بينهما ممكنة أيضًا، وكذلك 0، فيأخذ dx ‏7 + 1 + 7 = 15 قيمة، وكذلك dy. وهذا يعطي شبكة 15 × 15 والقطعة في مركزها؛ والمتجه الوحيد المستبعد هو (0, 0)، أي البقاء في المكان. من مربع واحد بعينه لا يبقى على الرقعة إلا 63 من هذه المتجهات (واحد لكل مربع آخر)، لكن أيّها يتوقف على المربع: في الزاوية تتجه كلها إلى جهة واحدة، وفي المركز إلى كل الجهات.

الحركات تُجمع: حركتان متتاليتان هما حركة واحدة، (dx₁, dy₁) + (dx₂, dy₂) = (dx₁ + dx₂, dy₁ + dy₂). وبهذا الجمع تشكّل المتجهات الزمرة الجمعية ℤ²: مجموع متجهين متجه أيضًا، والترتيب لا يهم (v + w = w + v)، و(0, 0) هو الصفر، ولكل متجه v متجه معاكس −v بحيث v + (−v) = 0. وشبكة 15 × 15 نافذة على هذه الزمرة، لا زمرة قائمة بذاتها: (7, 0) + (7, 0) = (14, 0) لا تتسع له الرقعة.

ببساطة: «اثنتان إلى الأعلى ثم واحدة إلى اليمين» و«واحدة إلى اليمين ثم اثنتان إلى الأعلى» تنتهيان في المربع نفسه؛ والبقاء في المكان هو الحركة الصفرية؛ وكل حركة تُلغى بالحركة نفسها إلى الخلف.

تناظر المربع

أدر الرقعة 90° أو اعكسها كالمرآة، فيبقى الرخ رخًا والحصان حصانًا. للمربع ثمانية تحويلات كهذه: أربعة دورانات وأربعة انعكاسات. ومعًا تشكل الزمرة الزوجية D₄، زمرة تناظرات المربع. والقطعة التي لا تتوقف قواعدها على اتجاه الرقعة (كل قطعة تقليدية عدا البيدق) تحوي مع كل متجه كل صوره تحت D₄.

كل تناظر مصفوفة صحيحة تؤثر في متجهات الحركة: ربع الدورة ينقل (x, y) إلى (−y, x)، والانعكاس في القطر ينقل (x, y) إلى (y, x). لذلك تحفظ التناظرات الجمع، g(v + w) = g(v) + g(w): تدوير الرقعة بعد حركتين يساوي تدوير كل حركة ثم جمعهما. وبلغة الزمر، تؤثر D₄ في ℤ²، وكل تناظر تشاكل ذاتي لـ ℤ². ونصف الدورة ينقل كل v إلى −v، لذا فللقطعة المتناظرة دائمًا، مع كل حركة، حركة العودة.

نسمّي متجهين متكافئين إذا نقل تناظرٌ ما أحدهما إلى الآخر. هذه علاقة تكافؤ، وقواعد الزمرة الثلاث هي بالضبط ما يجعلها كذلك: كل متجه مكافئ لنفسه (التناظر المحايد)، والعلاقة تعمل في الاتجاهين (كل تناظر يمكن التراجع عنه)، وهي تتسلسل (تناظران متتاليان تناظر أيضًا). وتقسّم صفوفها المتجهات إلى عائلات لا تتداخل.

مجموعة صور المتجه الواحد هي مداره، والمدارات هي هذه الصفوف. وتعطي مبرهنة المدار والمثبِّت حجمه: |المدار| = 8 / |المثبت|، حيث المثبِّت هو التناظرات التي تُبقي المتجه في مكانه. المتجه الواقع على خط مستقيم أو قطر يحفظه انعكاس واحد، فيكون لمداره 4 اتجاهات. أما المتجه المائل كمتجه الحصان فلا يحفظه أي تناظر، فله 8.

ببساطة: خذ خطوة الرخ (1, 0). تدوير الرقعة 90° يعطي (0, 1) و(−1, 0) و(0, −1)، لكن قلب الرقعة من الأعلى إلى الأسفل يترك (1, 0) في مكانه، فتعطي التناظرات الثمانية كل اتجاه من الاتجاهات الأربعة مرتين. أما خطوة الحصان (2, 1) فليس لها تناظر كهذا: الثمانية كلها تعطي متجهات مختلفة، وهي مذكورة أدناه.

من أين تأتي 7 و7 و21. يتحدد المدار بطولي خطوتيه من دون إشارة. مدار الخط هو (a, 0) حيث a من 1 إلى 7: سبعة مدارات في كل منها 4 متجهات، (±a, 0) و(0, ±a). مدار القطر هو (a, a): مرة أخرى سبعة مدارات في كل منها 4، (±a, ±a).

المدار المائل هو زوج من عددين مختلفين من 1 إلى 7، وترتيبهما لا يهم: (2, 1) و(1, 2) في المدار نفسه. هناك 7 · 6 / 2 = 21 زوجًا كهذا، {2, 1}، {3, 1}، {3, 2}، {4, 1} … {7, 6}، وفي كل مدار 8 متجهات: ترتيبان × 4 تركيبات للإشارات. مدار الحصان مثلًا هو (2, 1) (1, 2) (−1, 2) (−2, 1) (−2, −1) (−1, −2) (1, −2) (2, −1). التحقق: 28 + 28 + 168 = 224 متجهًا في 7 + 7 + 21 = 35 مدارًا. ببساطة، 35 هو عدد الحركات المختلفة إذا أهملنا الاتجاه: 7 أطوال للرخ، و7 للفيل، و21 شكلًا من نوع الحصان.

ويخرج العدد نفسه دون سرد أي مدار. تقول توطئة بيرنسايد إن عدد المدارات هو متوسط عدد المتجهات التي يتركها تناظر ما في مكانها. خذ شبكة 15 × 15 كلها مع الصفر: التناظر المحايد يثبّت المتجهات الـ 225 كلها، وكل دوران من الدورانات الثلاثة يثبّت (0, 0) وحده، وكل انعكاس من الانعكاسات الأربعة يثبّت المتجهات الـ 15 على محوره. إذن عدد المدارات (225 + 3 · 1 + 4 · 15) / 8 = 288 / 8 = 36: الاتجاهات الـ 35 والمتجه الصفري وحده في مداره.

لماذا ثلاث حركات أساسية بالضبط. المتجه غير الصفري يثبّته إما انعكاس في محور يمر بضلعي المربع (متجهات الخط)، وإما انعكاس في قطر (متجهات القطر)، وإما لا يثبّته أي تناظر سوى المحايد (المتجهات المائلة). فأنواع الاتجاهات ثلاثة لا أكثر. وأقصر متجه في كل نوع هو (1, 0) و(1, 1) و(2, 1): خطوة الرخ وخطوة الفيل ووثبة الحصان. والشطرنج يبني قطعه البعيدة المدى من أصغر عضو في كل نوع، ولهذا فالهندسة لا الذوق هي التي تختار هذه الثلاثة.

مبرهنة الانغلاق

لنكتب حركات الشطرنج الثلاث البعيدة المدى: R الانزلاق على خط مستقيم، وB الانزلاق على قطر، وN قفزة الحصان. واتحاد قطعتين X ∨ Y هو قطعة يمكنها أن تتحرك كـX أو كـY. والوزير أول مثال: Q = R ∨ B. والاتحاد تجميعي وتبديلي ومتساوي القوى، فتشكّل القطع المبنية من هذه الحركات الثلاث الشبكة البولية للمجموعات الجزئية من {R, B, N}.

ببساطة: الترتيب في الاتحاد لا يهم (R ∨ N هي القطعة نفسها N ∨ R)، وإضافة حركة تملكها القطعة أصلًا لا تغير شيئًا (R ∨ R = R). لذلك تتحدد القطعة المبنية من R وB وN تمامًا بأيّ الحركات الثلاث تملك.

الاتحاد ليس عملية زمرة. الحركات تُجمع فتشكّل زمرة، أما اتحاد القطع فلا معكوس له: الحركة التي أضيفت مرة لا يزيلها أي اتحاد آخر. ولهذا تشكّل القطع شبكة بولية لا زمرة. الزمرة تحدد مما تُبنى القطع، والاتحاد يحدد كيف تجتمع.

العدّ نفسه من دون رموز: كل واحد من R وB وN إما موجود في القطعة وإما لا، فيعطي ذلك 2 · 2 · 2 = 8 تركيبات. واحدة منها لا تحوي شيئًا وليست قطعة، فيبقى 7. يعرض الشكل 1 والجدول في الجزء الأول السبع كلها.

نتيجتان. الأولى: لا تُدخل Maharajah أي اتجاه جديد، فكل قطعها تستخدم المدارات الثلاثة نفسها من أصل 35 التي يستخدمها الشطرنج التقليدي. الثانية: المجموعة أصغرية. فمن دون أيٍّ من القطع الجديدة الثلاث لا تعود مغلقة، وأي قطعة أخرى تُضاف كانت ستأتي بحركة جديدة.

يقبل الشطرنج التقليدي الاتحاد مبدأً (الوزير)، لكنه يطبقه على زوج واحد فقط من الأزواج الثلاثة. وتطبق Maharajah المبدأ نفسه على كل زوج وعلى الثلاثة معًا.

كم قطعة ممكنة

تتحدد القطعة المتناظرة بما تفعله مع كل واحد من المدارات الـ35: تتجاهله، أو تقفز عليه، أو تنزلق عليه. ولا يختلف الانزلاق عن القفز إلا إذا اتسعت الرقعة لخطوتين على الأقل، أي حين 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7. وهذا يصح لـ9 مدارات بالضبط، وهي التي طولها حتى 3. أما الـ26 الباقية فلها خياران فقط.

لماذا يتطلب الانزلاق 2·max(|dx|, |dy|) ≤ 7: القطعة المنزلقة تكرر الخطوة نفسها مرة بعد مرة، فتقع خطوتها الثانية على ضعف المسافة. على (3, 0) تصل قطعة من العمود a إلى d ثم إلى g: تتسع الرقعة لخطوتين. وعلى (4, 0) تحتاج الخطوة الثانية إلى 8 أعمدة، والرقعة لا تتيح أكثر من 7، فيكون «الانزلاق على (4, 0)» و«القفز على (4, 0)» القطعة نفسها. ويعدّ عمود الطول المدارات بإحداثيها الأكبر: للطول L عدد L + 1 من المدارات، (L, 0), (L, 1) … (L, L). لذلك تعطي الأطوال من 1 إلى 3 ‏2 + 3 + 4 = 9 مدارات، والأطوال من 4 إلى 7 ‏5 + 6 + 7 + 8 = 26.

الاختيارات مستقلة بعضها عن بعض، لذا تُضرب. مداران فقط بثلاثة خيارات لكل منهما يعطيان 3 · 3 = 9 تركيبات. وللمدارات الـ35 كلها: 3⁹ = 19,683 للمدارات القصيرة مضروبًا في 2²⁶ = 67,108,864 للطويلة. وتركيبة واحدة تتجاهل كل المدارات: «قطعة» لا تتحرك أبدًا. ولهذا يُطرح 1.

إذن تسمح رقعة 8×8 بـ3⁹ · 2²⁶ − 1 = 1,320,903,770,111 قطعة متناظرة بالضبط، أي أكثر من 1.3 تريليون. ولا يشمل هذا العدد القطع التي تتحرك إلى الأمام فقط (البيدق، قطع الشوغي)، ولا التي تقفز فوق غيرها (الجندب، مدفع الشيانغ تشي)، ولا التي يمكن سدّ طريقها (حصان الشيانغ تشي). والنتيجة بسيطة: لا يمكن لأي مجموعة قطع أن تكون «مكتملة» بين كل القطع الممكنة. فالاكتمال لا معنى له إلا بالنسبة لقاعدة مختارة.

قاعدة أوسع: 17 قطعة

ماذا لو شملت القاعدة الخطوات القصيرة؟ على الخطوط المستقيمة قد لا يكون للقطعة شيء، أو خطوة W، أو انزلاق R؛ وعلى الأقطار لا شيء، أو خطوة F، أو انزلاق B؛ ومع الحصان أو بدونه. فيكون العدد 3 · 3 · 2 − 1 = 17 قطعة. للشطرنج التقليدي 5 منها (الملك بوصفه قطعة ملكية فقط)، ولـMaharajah ثمانٍ. والتسع الباقية معروفة من تقاليد أخرى: فرزان الشطرنج الفارسي، وتنانين الشوغي، وقطع خيالية.

العدّ كما في «كم قطعة ممكنة»: 3 خيارات على الخطوط × 3 على الأقطار × 2 للحصان = 18، والتركيبة الوحيدة التي لا تحوي شيئًا ليست قطعة.

أطلس القطع المعروفة

فيما يلي 31 قطعة من الشطرنج وMaharajah والشطرنج الفارسي القديم (اللعبة التي انحدر منها الشطرنج) والشيانغ تشي (الشطرنج الصيني) والشوغي (الشطرنج الياباني) والشطرنج الخيالي. تعرض كل صورة مصغرة الحركات من d4 على رقعة فارغة. انقر قطعة لتفتحها على الرقعة الكبيرة. هناك يمكنك نقلها بالنقر على مربع، وتشغيل خريطة حرارية لعدد حركاتها من كل مربع.

ماذا تُظهر الحسابات

لكل قطعة حسبنا حركيتها على رقعة فارغة، وحللنا نهاية «ملك وقطعة ضد ملك وحيد» بتعداد كل وضعية (نحو 262 ألفًا لكل طرف في دوره). وقد فُحص الحلّال على نتائج معروفة: أطول كش مات بالوزير جاء في 10 نقلات وبالرخ في 16، كما في جداول النهايات.

من أين تأتي 262 ألفًا: يمكن لكل من الملك الأبيض والملك الأسود والقطعة البيضاء أن يقف على أي من المربعات الـ64، و64 · 64 · 64 = 262,144. والأوضاع التي يقف فيها اثنان على مربع واحد أو يتجاور فيها الملكان غير قانونية وتُتخطى.

المتوسط: متوسط عدد الحركات على المربعات الـ64. الزاوية والمركز: أقل وأكثر عدد من الحركات من مربع واحد. القطر: أكبر عدد من النقلات اللازمة بين مربعين. فوز مضمون: نسبة الوضعيات (الدور للأبيض) التي يكون فيها الكش مات مفروضًا. أطول كش مات: بالنقلات، مع أفضل لعب من الطرفين. قطع Maharajah مميزة.

Betza هو الترميز المختصر المعتاد لحركات القطع الخيالية. W خطوة واحدة على خط، وF خطوة واحدة على قطر، وN قفزة الحصان، وK = W + F خطوة الملك؛ وR وB وQ تنزلق، والحرف المضاعف ينزلق أيضًا (NN، الفارس الليلي). وتُجمع الحروف: RN يتحرك كالرخ وكالحصان. وفي mfWcfF الخاص بالبيدق تعني m الحركة فقط، وc الأسر فقط، وf إلى الأمام.

أربع نتائج تنبع من الهندسة وحدها:

1. الحركية تُجمع بدقة. متجه الحصان ليس مضاعفًا لأي متجه خطي أو قطري، فلا تتطابق مربعات الحصان أبدًا مع مربعات قطعة منزلقة: A = B + N = 8.75 + 5.25 = 14.00، تمامًا مثل الرخ.
2. الاتحاد يقدر على ما لا يقدر عليه أي جزء. لا الفيل ولا الحصان يستطيع الكش مات وحده؛ أما رئيس الأساقفة فيكش مات من أي وضعية. والسبب لون المربعات (الشكل 6).
3. المهراجا يكش مات في 4 نقلات على الأكثر من أي وضعية؛ والوزير يحتاج حتى 10.
4. الزوجية. لا تستطيع أي قطعة تغيّر كل حركاتها لون المربع (W وN وW+N والفارس الليلي) أن تكش مات وحدها. وهذا نمط لوحظ في 18 قطعة، لا برهان.

ببساطة: رقّم الأعمدة والصفوف من 1 إلى 8 واجمع العددين. مجموع المربعات الداكنة زوجي، والفاتحة فردي. حركة الفيل تغيّر المجموع بعدد زوجي، فلا يغيّر الفيل لونه أبدًا. وحركة الحصان تغيّره بـ1 أو 3، وهو عدد فردي، فيغيّر الحصان لونه في كل نقلة. ولرئيس الأساقفة الحركتان معًا فيصل إلى أي مربع، ولهذا يستطيع أن يميت بينما لا يستطيع الفيل ولا الحصان وحده.

حدود الادعاء

حتى لا تُقرأ النتيجة على نحو أوسع مما بُرهن:

• ليست كل القطع الممكنة. تضم Maharajah سبعًا من أكثر من 1.3 تريليون قطعة متناظرة. وهي مكتملة بالنسبة للاتحاد على القاعدة {R, B, N}، أي بالنسبة لحركات الشطرنج البعيدة المدى نفسها.
• انزلاق الحصان. للخطوط المستقيمة والأقطار في الشطرنج خطوة (الملك) وانزلاق (الرخ، الفيل)؛ أما للحصان فالقفزة فقط. والفارس الليلي، الذي ينزلق على متجه الحصان، غير موجود في الشطرنج ولا في Maharajah.
• أنواع أخرى من القطع، التي تتقدم إلى الأمام فقط أو تقفز فوق غيرها أو يمكن سدّ طريقها، تقع خارج هذا النموذج.
• القوة والقيمة. الهندسة لا تحدد كم تساوي القطعة في اللعب. هذه مسألة قياس بالمحرك، لا موضوع هذا المقال.

تاريخ الفكرة

لطالما وُسّعت مجموعة قطع الشطرنج. في الشطرنج الفارسي كان مكان الوزير لـالفرزان، خطوة قطرية واحدة، ومكان الفيل لـالفيل القديم، قفزة إلى (2, 2). وفي أوروبا في أواخر القرن الخامس عشر حلّ محلهما الوزير الحديث (R ∨ B) والفيل، وحينها دخل اتحاد الحركات إلى الشطرنج.

اقتُرح دمج الرخ والفيل مع الحصان مرات كثيرة: بييترو كاريرا (1617) على رقعة 10 × 8، وهنري بيرد (1874)، وخوسيه راؤول كابابلانكا (عشرينيات القرن العشرين) مع المستشار ورئيس الأساقفة، وGrand Chess لكريستيان فريلنغ (1984) على 10 × 10، وSeirawan Chess لياسر سيراوان وبروس هاربر (2007) على 8 × 8. ويظهر الوزير مع الحصان (الأمازون) في شطرنجات إقليمية وخيالية. التواريخ التاريخية مأخوذة من مصادر متداولة ولم تُطابق مع المصادر الأولية.

الجديد في Maharajah ليس القطع نفسها، بل جمع الاتحادات السبعة كلها على رقعة 8 × 8 العادية، مع بناء اللاعبين جيوشهم من الميزانية نفسها.

المنهج وإمكانية التكرار

كل رقم هنا محسوب، لا مأخوذ من المراجع. يحسب kxk.c (بلغة C، نحو 3 ثوانٍ) الحركية والتقيد باللون والقطر، ويحل نهاية K + X ضد K بالتحليل الرجعي: إلى الخلف من وضعيات الكش مات، نصف نقلة في كل مرة، حتى تتوقف مجموعة الوضعيات الرابحة عن النمو. في الوضعيات القانونية لا يتجاور الملكان والقطعة في مربعها الخاص؛ والجمود تعادل؛ ويمكن للملك الأسود أسر قطعة غير محمية. الصور المصغرة في هذه الصفحة مرسومة من تعريفات الحركة نفسها. تُفتح الشيفرة المصدرية لـkxk.c في المتصفح من الرابط أعلاه: صرّفها بالأمر cc -O2 kxk.c -o kxk ثم شغّل ./kxk.

الخلاصة

يبني الشطرنج التقليدي قطعه البعيدة المدى من ثلاث حركات، الخط المستقيم والقطر وقفزة الحصان، ويستخدم أربعة من اتحاداتها السبعة. والمهراجا والمستشار ورئيس الأساقفة هي بالضبط الثلاثة الناقصة. لذلك فمجموعة قطع Maharajah هي انغلاق مجموعة الشطرنج بالنسبة لاتحاد حركاتها نفسها. لم يُضف شيء جديد؛ بل اكتمل ما بدأه الوزير.

وكانت الرياضيات على الرقعة طوال الوقت. كل لاعب يعرف أن الفيل يلزم لونه، وأن قفزة الحصان يمكن التراجع عنها، أو أن نمطًا يعمل بالطريقة نفسها على الجناح الآخر، كان يستخدم المتجهات والتناظر والزوجية دون أسمائها.

يمكنك بناء جيش بهذه القطع في منشئ الجيش، أو رؤية كيف تتحرك كل قطعة في تعلَّم.